Números Enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Los números enteros se dividen en tres partes:

1 Enteros positivos o números naturales

2 Enteros negativos

3 Cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:

|−5| = 5

|5| = 5

Representación de los números enteros

1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...

3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...

Orden en los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Ejemplo:

5 > 3 POR TANTO  5 es mayor que 3.

−10 < −7 POR TANTO −10 es menor que −7.

Criterios para ordenar los números enteros

1 Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2 Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3 De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 > −10

|−7| < |−10|

4 De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7

|10| > |7|

Suma de números enteros

1 Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplo: 

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2 Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: 

−3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de números enteros

1 Interna

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo: 

2 Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0 = 0

3 Conmutativa

El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a

Ejemplo:

2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3

4 Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a

Ejemplo:

(−5) + 0 = −5

5 Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.
a + (−a) = 0

Ejemplo:

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Ejemplo:

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)

Ejemplo: 

7 − 5 = 7 + (−5) = 7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + [−(−5)] = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1 Interna

La resta dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo: 

2 No conmutativa
a - b ≠ b - a

Ejemplo:

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

+ · + = +
− · − = +
+ · − = −
− · + = −

Ejemplo: 

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1 Interna

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo: 

2 Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · a)

Ejemplo:

(2 · 3) · (−5) = 2 · [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30

3 Conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a

Ejemplo:

2 · (−5) = (−5) · 2

−10 = −10

4 Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a

Ejemplo:

(−5) · 1 = (−5)

5 Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo:

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)