Divisibilidad

1.1 MULTIPLOS

      Un número a es múltiplo de otro b cuándo es el resultado de multiplicar este último por otro número c.

a = b x c

Dado un número natural obtenemos un múltiplo de el al multiplicarlo por otro número natural.

18 = 2 · 9      18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9

Múltiplos del número 2
2 · 0 = 0	2 · 1 = 2	2 · 2 = 4	2 · 3 = 6	2 · 4 = 8
2 · 5 = 10	2 · 6 = 12	2 · 7 = 14	2 · 8 = 16	2 · 9 = 18

Múltiplos del número 3
3 · 0 = 0	3 · 1 = 3	3 · 2 = 6	3 · 3 = 9	3 · 4 = 12
3 · 5 = 15	3 · 6 = 18	3 · 7 = 21	3 · 8 = 24	3 · 9 = 27

Múltiplos del número 4
4 · 0 = 0	4 · 1 = 4	4 · 2 = 8	4 · 3 = 12	4 · 4 = 16
4 · 5 = 20	4 · 6 = 24	4 · 7 = 28	4 · 8 = 32	4 · 9 = 36

Múltiplos del número 5
5 · 0 = 0	5 · 1 = 5	5 · 2 = 10	5 · 3 = 15	5 · 4 = 20
5 · 5 = 25	5 · 6 = 30	5 · 7 = 35	5 · 8 = 40	5 · 9 = 45

   PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO:

1. Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2. El cero es múltiplo de todos los números.

3. Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

4. Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

5. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

6. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

7. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

8. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

1.2 DIVISORES

      Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. A los divisiones también se les llama factores.

12 : 4 = 3  4 es divisor de 12

4 · 3 = 12  12 es múltiplo de 4

PROPIEDADES DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

1. Todo número a, distinto de 0, es divisor de sí mismo.

2. El 1 es divisor de todos los números.

3. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de divisores es finito.

4. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.

5. Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de este.

6. Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

1.3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

   Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 2:

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo:  24, 238, 1 024, ...

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3:

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564 --> 5 + 6 + 4 = 15 por tanto 15 es múltiplo de 3

2 040 --> 2 + 0 + 4 + 0 = 6 por tanto 6 es múltiplo de 3

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 4:

Un número es divisible por 5, si termina en 0 o en 5

Ejemplo:45, 515, 7 525, 230, ...

1.4 NÚMEROS PRIMOS

   Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. 

Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega. Obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podemos afirmar que el número es primo.

CRIBA DE ERATÓSTENES:

   La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista que va de 2 hasta un número determinado.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista

Los números que permanecen en la lista son los primos.

1.5 NÚMEROS COMPUESTOS

   

   Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquél que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

Los números compuestos se pueden expresar cómo productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

FACTORIZAR UN NÚMERO

  Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

1.6 MÁXIMO COMÚN DIVISOR

  El máximo común divisor (m.c.d) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

1.7 MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

  El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes con mayor exponente.

CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Pongo el siguiente video para que te aclares mejor a la hora de calcular el mcm y el mcd.

Relación entre el mcd y el mcm:

m.c.d(a.b) x m.c.m(a,b)=a x b