Con los números
naturales no era posible realizar diferencias donde el
minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos
con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno
mayor.
La necesidad
de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con
respecto al nivel del mar, etc.
Las
anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales,
introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.
El conjunto
de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero.
Los números
enteros se dividen en tres partes:
1 Enteros positivos o números naturales
2 Enteros negativos
3 Cero
Dado que los
enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales
son un subconjunto de los enteros.
Valor absoluto de un número entero
El valor
absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su
signo.
El valor
absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
Ejemplo:
|−5| = 5
|5| = 5
Representación de los números enteros
1 En una recta horizontal, se toma un punto
cualquiera que se señala como cero.
2 A su derecha y a distancias iguales se van
señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
3 A la izquierda del cero y a distancias iguales
que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...
Orden en los números enteros
Los números enteros
están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que
está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
Ejemplo:
5 > 3 POR TANTO 5 es mayor
que 3.
−10 < −7 POR TANTO −10 es menor
que −7.
Criterios para ordenar los números enteros
1 Todo
número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2 Todo
número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3 De
dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 > −10
|−7| < |−10|
4 De
los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7
|10| > |7|
Suma de números enteros
1 Si los sumandos son del mismo signo, se suman
los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
Ejemplo:
3 + 5 = 8
(−3) + (−5)
= −8
2 Si los sumandos son de distinto signo, se restan
los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone
el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo:
−3 + 5 = 2
3 + (−5) =
−2
Propiedades de la suma de números enteros
1 Interna
El resultado
de sumar dos números enteros es otro número entero.
Ejemplo:
2 Asociativa
El modo de
agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
(2 + 3) +
(−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0 = 0
3 Conmutativa
El orden de
los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Ejemplo:
2 + (−5) =
(−5) + 2
−3 = −3
4 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma porque
todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
Ejemplo:
(−5) + 0 =
−5
5 Elemento opuesto
Dos números
son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.
a + (−a) = 0
Ejemplo:
5 + (−5) = 0
El opuesto
del opuesto de un número es igual al mismo número.
Ejemplo:
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La resta de
números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
Ejemplo:
7 − 5 = 7 +
(−5) = 7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7
+ [−(−5)] = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1 Interna
La resta dos
números enteros es otro número entero.
Ejemplo:
2 No conmutativa
a - b ≠ b - a
Ejemplo:
5 − 2 ≠ 2 −
5
Multiplicación de números enteros
La
multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como
valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se
obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
+ · + = +
− · − = +
+ · − = −
− · + = −
Ejemplo:
2 · 5 = 10
(−2) · (−5)
= 10
2 · (−5) =
−10
(−2) · 5 =
−10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1 Interna
El resultado
de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
Ejemplo:
2 Asociativa
El modo de
agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros
cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · a)
Ejemplo:
(2 · 3) ·
(−5) = 2 · [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2
· (−15)
−30 = −30
3 Conmutativa
El orden de
los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Ejemplo:
2 · (−5) =
(−5) · 2
−10 = −10
4 Elemento neutro
El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da
el mismo número.
a · 1 = a
Ejemplo:
(−5) · 1 =
(−5)
5 Distributiva
El producto
de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número
por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo:
(−2) · (3 +
5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 =
(−6) + (−10)
−16 = −16
6 Sacar factor común
Es el
proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
(−2) · 3 +
(−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
